İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir. EKOK şeklinde ifade edilir.
Bir otobüs firmasına ait iki otobüsten birincisi 30 dakikada, ikincisi 45 dakikada seferlerini tamamlayıp otogara dönmektedir.
Buna göre sabah saat 09.00’da birlikte hareket eden bu otobüslerin en erken saat kaçta tekrar birlikte hareket edebileceğini düşününüz ve açıklayınız.
ÇÖZÜM:
15 ve 20’nin katlarını bulalım ve en küçük ortak katını belirleyelim.
15’in katları 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120,…
20’nin katları 20, 40, 60, 80, 100, 120, …
15’in ve 20’nin ortak katları 60, 120, 180, … dır.
Bu iki sayının en küçük ortak katı ise 60 olur.
15 ve 20’nin EKOK’unu bulalım.
Çözüm:
15 ve 20 sayılarının EKOK’unu asal çarpanlar algoritmasından yararlanarak bulalım.
Çizginin sağında kırmızı renkteki sayıların çarpımı bu iki sayının en küçük ortak katı; yani EKOK’udur.
EKOK(15, 20) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60 bulunur.
NOT: Biri diğerinin katı olan pozitif iki sayının EKOK’u, büyük olan sayıya eşittir.
16 ve 48 gibi biri diğerinin katı olan sayıların EKOK’unu işlem yapmadan EKOK (16, 48) = 48 olarak yazabiliriz.
Tarık, cevizlerini onar ve altışar saydığında her defasında 1 cevizi artıyor. Buna göre Tarık’ın en az kaç tane cevizi olduğunu bulalım.
Tarık, cevizlerini onar ve altışar saydığında her defasında 1 cevizi artıyorsa 10 ve 6’nın EKOK’u alınmalıdır.
EKOK(10, 6) = 2 · 3 · 5 = 30
Her defasında 1 ceviz arttığı için 30 + 1 = 31 cevizi vardır.
Bir tren istasyonunda zıt yönlere sabit bir hızla gidip gelen iki banliyö treninden biri 60 dk., diğeri 90 dk.da seferini tamamlayıp istasyona geri dönüp tekrar hareket etmektedir. Bu iki tren, aynı anda zıt yönlere hareket ettikten kaç dakika sonra tekrar birlikte hareket ederler?
I. yol
İki banliyö treninin, ilk hareketlerinden sonra kaçıncı dakikalarda istasyondan yeniden hareket ettiklerini bulalım:
60’ın katları; 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420 …
90’ın katları; 90, 180, 270, 360, 450, 540, 630 …
60 ile 90’nın ortak katları 180, 360 … olduğuna göre iki banliyö treninin ikinci kez birlikte hareket etmeleri 180 dk. sonra olur.
60 ve 90 sayılarının en küçük ortak katı 180’dir. Bunu EKOK (60, 90) = 180 biçiminde gösteririz.
II. yol
60 ve 90 sayılarının EKOK’unu bu sayıları ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırarak bulabiliriz:
60 ve 90 sayılarının asal çarpanları üslü biçimde;
60 = 22. 3 . 5 ve 90 = 2 . 32 . 5 yazılır.
Ortak çarpanlardan üssü büyük olan 22 ve 32 ile 5 birbirleriyle çarpılır. Elde edilen çarpım EKOK’u verir.
EKOK (60, 90) = 22 . 32 . 5 = 4 . 9 . 5 = 180 olur.
III. yol
60 ve 90 sayılarının asal çarpanlarını birlikte bulup bunları birbiri ile çarparak da EKOK’u bulabiliriz.
EKOK (60, 90) = 2 . 2 . 3 . 3 . 5
= 4 . 9 . 5
= 180 olur.
Sayıların EKOK’unu bulmada daha kısa olduğu için genellikle bu yol tercih edilir.
EKOK Problemleri
a) İki saatten biri 25 dakika ve diğeri 30 dakika arayla çalmaktadır. Bu saatler, 11.50 ’de aynı anda çaldıktan sonra tekrar saat kaçta birlikte çalar?
b) 16 yaşındaki Hayri ve kendisinden 6 yaş küçük kardeşi Selin, her hafta sonu Halime ninelerini ziyaret ederler. Halime ninenin yaşı Hayri ve Selin’in yaşlarının en küçük ortak katının 5 fazlası olduğuna göre Halime nine en az kaç yaşındadır?
c) Bir bahçedeki ağaçlar üçer ve beşer sayıldığında her defasında 1 ağaç artıyor. Bahçede 25’ten fazla ağaç olduğu bilindiğine göre bahçede en az kaç ağaç vardır?
| En Küçük Ortak Kat (EKOK) Konu Anlatımı | |
| Örnek Sorular | |
| Çıkmış Sorular | |
| Çalışma Kağıtları | |
| Sunumlar | PowerPoint |
Bu Konulara da Çalışalım:
| Konu | Kazanım |
| Çarpanlar ve Asal Çarpanlar Konu Anlatımı | Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. |
| EKOK Konu Anlatımı | İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar, ilgili problemleri çözer. |
| EBOB Konu Anlatımı | İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar, ilgili problemleri çözer. |
| Aralarında Asal Sayılar Konu Anlatımı | Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler. |
